주파수 분석 I

글 | 강성훈

1. 주파수 분석
2. 푸리에 급수

음향 시스템 설비가 완성되면 최종적으로 음향 튜닝을 한다. 음향 튜닝이란 공간 음향 특성에 의해서 변형된 주파수 특성을 관측하면서 평탄하게 보정하는 것을 말한다. 이 때 주파수 특성을 관측하는 장비가 주파수 분석기이다. 
주파수 분석기는 복합음이 어떠한 주파수 성분의 크기로 구성되어 있는지 관측하는 기기로서 음향 기술에서 없어서는 안되는 중요한 기기이다. 주파수 분석기는 푸리에 급수를 이용하여 시간 영역의 데이터를 주파수 영역으로 변환하여 주파수 특성을 관측하는 것이다. 

주파수 분석기(frequency analyzer)는 음향 기술에서는 없어서는 안 되는 중요한 장비이다. 주파수 분석기는 어느 신호가 어떠한 주파수 성분으로 구성되어 있고, 각 주파수의 크기가 얼마인지를 분석하는 것이다. 이 주파수 특성을 보고 음질을 예측하기도 하고, 주파수 특성이 평탄하지 않으면 보정하기도 한다. 주파수 분석기는 수학적으로 푸리에 급수를 활용하여 만든 기기이다. 여기에서는 주파수 분석에 사용되는 푸리에 변환에 대해서 설명한다. 

1. 주파수 분석

순음(pure tone)은 하나의 주파수 성분을 갖는 진폭이 일정한 음이며, 음파의 파형은 그림 1(a)와 같이 sin 파로 나타난다. 두 개 이상의 순음이 더해진 음을 복합음(그림 1b)이라고 하고, 파형은 찌그러진 형태이다. 그림 2에는 음성의 파형을 나타내고, 음성도 복합음인 것을 알 수 있다.

복합음은 주파수와 크기가 다른 여러 개의 순음이 합성된 음이다. 그리고 복합음은 어떠한 주파수 성분으로 구성되어 있는지 분해하여 나타낼 수 있으며, 이것을 주파수 분석(frequency analysis)이라고 한다. 그림 3과 같이 주파수 분석기에 복합음을 입력시키면 여러 개의 순음으로 분해된다. 그리고 그림 3(c)와 같이 각 순음의 주파수 별로 음압 레벨을 나타낸 것을 스펙트럼(spectrum)이라고 한다. 스펙트럼을 보면 복합음이 어떠한 주파수로 구성되어 있고, 각 주파수의 음압 레벨이 얼마인지를 알 수 있다.

즉, 복합음은 주파수가 f, 2f, 3f, …이고, 레벨이 A₁, A₂, A₃, …인 여러 개의 순음들이 합성(sound synthesis)된 것이다. 복합음을 구성하는 것을 배음(overtone 또는 harmonics)이라고 하며, 최저 주파수를 기본음(fundamental)이라고 한다. 배음의 주파수가 제일 낮은 것부터 제1 배음, 제2 배음, …이라고 한다. 복합음은 가장 낮은 기본 주파수를 피치(pitch, 음고 音高)로 지각한다.

그림 4와 같이 주파수 분석기를 이용하면 복합음의 스펙트럼을 실시간으로 구할 수 있다. 주파수 분석기는 여러 개의 대역 통과 필터로 구성되어 있다. 마이크에 입력되는 신호가 대역 통과 필터를 통과하면 각 주파수 대역의 레벨을 LED에 표시하는 것이다.

현재는 디지털 기술이 발전되어 고속 푸리에 변환(FFT) 처리에 의한 주파수 분석기가 개발되었다. FFT 분석기가 표시하는 데이터의 의미를 파악하기 위해서는 FFT의 기본인 푸리에 급수의 개념과 그 수학적 배경을 이해해야 한다. FFT 처리에 의한 주파수 분석기는 2절에서 설명하는 푸리에 급수를 기본으로 하고 있다. 

2. 푸리에 급수

신호의 파형은 그림 5와 같이 진폭과 주파수 함수로 나타낸다. 진폭은 파형의 크기를 말한다. 주파수는 1초 동안에 +/-가 반복되는 회수를 의미하고, 단위는 Hz이다. 그리고 파가 +/- 1회 진동하는데 걸리는 시간이 주기이다. 주파수와 주기는 역수 관계(f=1/T)가 있다.

푸리에 급수(Fourier series)는 어떠한 복합음의 파형이라도 주기적인 파형이면, 여러 개의 sin 파와 cos 파의 급수로 나타낼 수 있는 이론이다. 예를 들어 그림 6과 같은 복합음의 파형이 있다고 가정하자. 이와 같은 복합 파형을 그림 7과 같이 5sin2ωt, 4sin5ωt, 3sin7ωt 파로 분해하여 나타낼 수 있다. 5sin2ωt에서 5는 진폭, 2는 각 주파수를 나타낸다.

여러 개의 sin 파로 분해된 것을 주파수는 가로축에 나타내고, 진폭을 세로축에 나타내면 그림 8과 같고, 이것을 스펙트럼(spectrum)이라고 한다. 이와 반대로 그림 9와 같이 3개의 sin 파를 더하면 복합음이 되고, 이것을 합성이라고 한다.

그림 10의 복합음 파형은 진폭과 주파수가 다른 3개의 sin 파가 더해진 것이고, f(t)=5sin2ωt+4sin5ωt+3sin7ωt와 같이 나타낸다. 이와 같이 모든 주기 함수는 삼각 함수의 합으로 나타낼 수 있다. 주기 함수란 어떤 주기를 가지고 함수 값이 반복되는 것, 즉, 파형이 반복되는 신호이다. 

주기적인 복합음의 신호를 sin 파와 cos 파 성분으로 전개하는 것을 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다. 즉, sin 파와 cos 파로 합성된 파형의 주파수와 크기를 계산하는 것이다. 일반적인 식으로 표현하면 (1) 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기에서 a₀, a_n, b_n은 푸리에 계수라고 한다. a₀는 직류 성분, a₁과 b₁은 기본 주파수, 이 이상의 주파수는 배음 성분이다. 푸리에 계수는 여러 개의 sin 파와 cos 파의 진폭을 나타낸다. cosnω₀t와 sinnω₀t에서 n은 주파수를 나타낸다.
그림 10의 파형의 푸리에 계수(주파수 성분의 크기)를 구하면 b₂=5, b₅=4, b₇=3이고, 다른 계수는 전부 0이다. 그리고 각 주파수는 2ω₀, 5ω₀, 7ω₀이다. 푸리에 계수와 각 주파수를 (1) 식에 대입하면 다음 식으로 나타낼 수 있다.

그림 11과 같은 사각 파형의 푸리에 급수를 구해 본다.

푸리에 계수를 구하면 다음과 같다.

a₀=0
a₁=0,     a₂=0,     a₃=0,         a₄=0,      a₅=0,…
b₁=4/π,    b₂=0,    b₃=1/3×4/π,    b₄=0,      b₅=1/5×4/π,…

이상의 푸리에 계수를 함수 식에 대입하면, 사각 파형의 푸리에 급수는 다음과 같이 된다. 사각 파형은 홀수 배의 sin 파로 합성된 파형인 것을 알 수 있다. 

그림 11 사각 파형의 푸리에 계수 a0, an, bn 계산

(2) 식, (3) 식, (4) 식을 이용하여 사각 파형의 푸리에 계수를 구하면 다음과 같다.

크기가 1인 100Hz, 크기가 1/3인 300Hz, 크기가 1/5인 500Hz의 sin 파를 더하면 (= sin2π100t+⅓sin2π300t+⅕sin2π500t), 그림 12와 같이 사각 파형과 비슷해진다. 그리고 계속해서 배음을 더해 가면 완전한 사각 파형이 된다.

그림 13과 같은 삼각 파형의 푸리에 급수는 다음과 같다. 삼각 파형은 홀수 배의 cos 파가 더해진 파형인 것을 알 수 있다.

사각 파형은 sin 파로 합성된 파형이고, 삼각 파형은 cos 파로 합성된 파형이다. 파형이 기함수(odd function)이면 배음은 sin 파만 있다. 기함수는 x(t)=-x(-t)를 만족하는 원점 대칭 함수이고, cos 파는 기함수이다. 파형이 우함수(even function)이면, 배음은 cos 파만 있다. 우함수는 x(t)=x(-t)를 만족하는 y 축 대칭 함수를 말하고, sin 파는 우함수이다.
그림 14에는 복합음을 스펙트럼 분석기를 이용하여 주파수 성분을 구한 예를 나타낸다. 그림 15에는 기본 주파수가 100Hz인 각종 파형을 주파수 분석기를 사용하여 분석한 것이다. 사각파와 삼각파는 홀수 배음만 있고, 톱니파는 짝수와 홀수의 모든 배음이 있는 것을 알 수 있다.

스펙트럼 분석은 음성이나 악기음의 주파수 성분 분석, 스피커의 주파수 특성 분석, 음향 시스템의 음향 튜닝, 하울링 주파수 찾기 등에 활용된다.
이상에서 설명한 푸리에 급수는 복잡한 파형이라도 주기적인 파형이면, 여러 개의 sin 파와 cos 파의 급수로 나타낼 수 있는 이론이다. 그러나 비주기 함수 파형은 푸리에 급수로 주파수를 분석할 수 없다. 비주기 함수는 급수를 −∞ ~ ＋∞까지 확장하여 발전시킨 것이 푸리에 변환(Fourier transformaton)이다. 다음 호에서는 푸리에 변환과 FFT에 대해서 설명한다.