임피던스란 III

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Stage Sound Magazine Vol.07

글 | 강성훈

 믹서, 앰프, 마이크 등 음향 기기들의 스펙을 보면 임피던스(impedance)라는 용어가 나온다. 입력 임피던스(input impedance), 출력 임피던스(output impedance), 종단 임피던스(terminating impedance), 정합 임피던스(matched impedance) 등 많은 용어들이 있다. 임피던스는 믹서, 앰프, 스피커 특성을 이해하는데 아주 중요하다. 음향 수학 코너에서는 임피던스와 관련된 내용을 다음과 같은 순서대로 설명해 간다.

1. 임피던스란, 복소수
2. 저항과 임피던스, 유도성 회로
3. 용량성 리액턴스, 임피던스
4. 스피커의 임피던스, 앰프의 출력 임피던스,
스피커 레벨과 라인 레벨 임피던스
5. 기기의 입출력 임피던스 구하기
6. 임피던스 매칭
7. 임피던스 브리징

3. 용량성 리액턴스

1) 커패시터의 특성

그림 1과 같이 두 장의 금속 판 사이에 절연체로 만들어진 유전체를 끼워 넣은 소자를 커패시터(capacitor)라고 한다. 커패시터 양극에 전압을 가하면 한 쪽은 +, 다른 쪽은 – 전하가 서서히 축척되면서 전압이 발생되고, 양단을 전선으로 단락시키면 전류가 역방향으로 흘러 전하가 줄어들고 전압도 떨어진다. 역방향으로 전류를 흘리면 전하가 없어지고 나서 +, – 역의 전하가 축척된다. 전류를 흘리면 전압이 점차 증가되므로 커패시터는 전하를 모으게 된다.

커패시터가 단위 전압당 도체판 양단에 저장할 수 있는 전하의 양을 커패시턴스(capacitance)라고 한다. 커패시턴스는 전하를 저장하는 커패시터의 능력을 나타내고, 단위는 F(Farad)이다. 커패시터가 저장할 수 있는 단위 전압당 전하가 많을수록 커패시턴스는 커진다. Q는 전하(Coulomb), C는 커패시턴스(F), V는 전압(V)이다.

Q=CV C (1)

커패시터에 흐르는 전류 i_c는 커패시터 양단에 걸리는 전압의 순시 변화율에 커패시턴스를 곱한 것이고, (2) 식과 같다. 그림 2와 같이 커패시터 양단에 걸리는 전압이 빠르게 변할수록 전류가 커지는 것이다.

(2)

커패시터 양단에 sin파 전압 v(t)를 인가하면, 그림 3과 같이 전압 파형은 영 교차점에서 변화율(dv/dt)이 최대가 되고, 피크 점에서 변화율은 0이 된다. 그리고 dv/dt가 + 방향으로 최대가 될 때 i(t)는 + 최대가 되며, dv/dt가 – 방향으로 최대가 될 때 i(t)는 – 최대가 된다. 따라서 그림 4와 같이 커패시터에 sin파 전압을 인가하면 cos파 전류가 유도된다. 결과적으로 sin파 전압의 기울기를 구하면(미분하는 것과 같음) cos파 전류가 얻어진다.

이와 같이 커패시터에 sin파 전압을 가하면 cos파 전류가 유도된다. 그림 5(a), (b)는 커패시터에서 sin파 전압과 cos파 전류 파형을 나타내고, 전류가 전압보다 위상이 90도 빠른 것을 알 수 있다. 그림 (c)는 전압과 전류의 위상 관계를 페이저로 나타낸 것이다. 전압과 전류의 위상 차가 90도인 것은 순수 용량성 회로의 경우이고, 저항도 같이 있는 회로에서는 소자 값에 따라서 위상 차가 달라진다.

2) 용량성 리액턴스

용량성 리액턴스(capacitive reactance)는 전류의 흐름을 방해하는 것이며, 단위는 옴(Ω)이고 기호는 X_C로 나타낸다.

전압의 변화율은 주파수와 관계가 있다. i_c=C(dv/dt) 식과 같이 전압의 변화율이 클수록 주파수의 변화가 크다. 즉, 주파수가 높을수록 전압의 변화율이 크다. 따라서 주파수가 증가하면 dv/dt도 증가하여 i_C도 증가된다. 또한 주파수가 낮아지면 dv/dt가 감소하여 i_c도 감소된다. i_c가 증가하는 것은 X_C가 작아지는 것을 의미하고, i_c가 감소한다는 것은 X_C가 커지는 것을 의미한다. 즉, X_C는 주파수에 반비례하는 것이다.

그리고 i_c=C(dv/dt)에서 (dv/dt)가 일정하고 C가 변하는 경우에 C가 증가하면 i_c는 증가되고(X_C는 감소), C가 감소되면 i_c도 감소(X_C는 증가)된다. 즉, 용량성 리액턴스 X_C는 f와 C에 반비례하는 것이다. 따라서 X_C는 1/fC와 비례 관계가 있고, (3) 식과 같다. (3) 식에서 2𝝅는 비례 상수이고, sin파의 회전 운동과 관계된다.

(3)

그림 5와 같이 주파수가 낮아지면 X_C는 커지고, 주파수가 높아지면 X_C는 작아진다. 즉, 주파수가 높아지면 저항이 감소되므로 전류가 잘 흐르고, 주파수가 낮아지면 저항이 증가하여 전류가 잘 흐르지 않은 특성이므로 고역 통과 필터 소자로 사용된다. 그림 5에서 전류 변화는 점선으로 나타낸다. 그림 6과 같이 커패시터에 DC를 가하면 X_C는 ∞Ω(오픈 상태)이 되고, 주파수가 아주 높은 신호를 가하면 X_C는 0Ω(short 상태)이 된다.

그림 6. 커패시터에 DC를 가하면 오픈 상태(b), 주파수가 높은 신호를 가하면 short(c) 상태가 된다.

용량성 리액턴스의 유도

커패시터에 sin파 전압(vc sinωt)을 인가하면 흐르는 전류 i(t)는 다음 식으로 구할 수 있다.
i(t) = C d/dt v(t) = C d/dt vc sinωt = ωC∙vc cosωt = ωC∙vc  sin⁡(ωt+90°) = jωC∙vc  sin⁡ωt
전류가 전압보다 90도 앞선다.
(vc sinωt)/i = 1/jωC = XC
XC = 1/jωC = 1/j2πfC = (-j)/2πfC[Ω]

*참조; (sinωt)의 미분  →  ωcosωt,  cosωt = sin(ωt+90°)

[예제 1] 0.47μF 커패시터에 100Hz와 1kHz의 sin파가 각각 입력되었을 때 용량성 리액턴스는 얼마인가?

100Hz가 입력된 경우; Xc = 1/2πfC =1 /(2π∙100∙0.47×10^-6 ) = 3388Ω
1000Hz가 입력된 경우; Xc = 1/2πfC = 1/(2π∙1000∙0.47×10^-6 ) = 339Ω

주파수가 높아지면 그림 5와 같이 Xc가 감소된다.

그림 7의 R C 직렬 회로에서 임피던스는 저항 값과 용량성 리액턴스의 합으로 구한다. 커패시터에서 전압 강하는 전류보다 위상이 90도 느리므로 용량성 리액턴스를 복소 평면에 나타내면 그림 7(b)와 같이 -jX_C이 되고, 임피던스는 (4) 식으로 나타낸다. 그리고 전압과 전류의 위상 차는 (5) 식으로 구한다.

(3)

[예제 2] 그림 8(a) 회로의 임피던스와 전압과 전류의 위상 차는 얼마인가?

Z = √(R²+X_C²)=√(4²+[-3]² ) = √25 = 5[Ω]
θ = -tan^-1 (3/4) = -36.9°

임피던스를 페이저 형태로 나타내면 다음과 같다.

Z = 5∠-36.9°

그림 8(c)의 저항 회로의 합성 저항은 7Ω이고, 전압과 전류는 동위상이다.

4. 임피던스

그림 9는 저항과 인덕터, 커패시터로 구성되어 있는 R L C 회로이다. X_L이 X_C보다 크면 유도성 회로이고, X_L이 X_C보다 작으면 용량성 회로이다. 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스는 위상 각이 서로 정반대(역 위상)이므로 두 리액턴스를 합한 전체 리액턴스 값은 각각의 리액턴스 값보다 작아진다. 임피던스의 크기와 위상 차는 각각 (6) 식, (7) 식과 같다. 위상 각은 회로가 유도성이면 + 값이 되고, 용량성이면 – 값이 된다.